POJ – 1737 Connected Graph（计数dp+高精度）

https://vjudge.net/problem/POJ-1737
题意
- 给n个点，计算有多少个连通图
题解
- 计数DP， $f (n)$ 表示n个点，每个点都和点1相连，且n个点互相连通的图的个数
  （蓝字非常重要，这个条件有效地避免了重复计算）
- $g (n)$ 表示n个点，每个点都和点1相连，且不是n个点互相连通的图的个数
- $S (n)$ 表示n个点的图的个数。
- 显然，有： $f (n) = S (n) - g (n)$
  $S (n) = 2^{n (n - 1) / 2}$
- $S (n) = 2^{n (n - 1) / 2}$ 而且有（关键）： $g(n)=\sum_{1}^{n-1}C(n-1,i-1)*f(i)*2^{(n-i)*(n-i-1)/2}$
- 从除了1之外的n-1个点中选出i-1个点，让这i个点互相连通，而剩下的n-i个点和这i个点没有边相连，互相之间随意连接
- 其实这道题的关键在于“围绕基准点构造一个整体”
- 基准点不一定能从子关系中看出，不妨直接从结果入手
- 最后的连通块中，结点1（任一结点）在所有结果之中，所以，我们由结点1这个基准点得到了结点1所在连通块的整体
- 最后得到状态转移方程： $f[i]=2^{i*(i-1)/2}-\sum_{1}^{i-1}C(i-1,j-1)*f(j)*2^{(i-j)*(i-j-1)/2}$

代码

取余逆元版本

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for(int i=n;i>=1;i--)
typedef long long ll; 
typedef unsigned long long ull;
const ll mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
ll f[55];
ll jc[55];
ll inv[55];
ll power(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b/=2;
	}
	return ans;
}
ll C(int n,int m){
	return jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main(){
	int n;
	jc[0]=1;
	inv[0]=1;
	rep(i,1,50){
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
		inv[i]=power(jc[i],mod-2);
	}
	rep(i,1,50){
		f[i]=power(2,i*(i-1)/2);
		rep(j,1,i-1){
			f[i]=(f[i]-f[j]*C(i-1,j-1)%mod*power(2,(i-j)*(i-j-1)/2))%mod; 
		}
	}
	while(scanf("%d", &n)&&n){
		printf("%I64d\n", (f[n]+mod)%mod);
	}
	return 0;
}

高精度版本

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for(int i=n;i>=1;i--)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ll mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10
#define DLEN 4
class BigNum
{ 
private: 
    int a[500];    //可以控制大数的位数 
    int len;       //大数长度
public: 
    BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数
    BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数
    BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数
    BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数
    BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
    friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符
    friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符
    BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算 
    BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算 
    BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算 
    BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算
    BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算
    int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    
    bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较
    bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较
    void print();       //输出大数
}; 
BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数
{ 
    int c,d = b;
    len = 0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    while(d > MAXN)
    {
        c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1); 
        d = d / (MAXN + 1);
        a[len++] = c;
    }
    a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数
{
    int t,k,index,l,i;
    memset(a,0,sizeof(a));
    l=strlen(s);   
    len=l/DLEN;
    if(l%DLEN)
        len++;
    index=0;
    for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
    {
        t=0;
        k=i-DLEN+1;
        if(k<0)
            k=0;
        for(int j=k;j<=i;j++)
            t=t*10+s[j]-'0';
        a[index++]=t;
    }
}
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数
{ 
    int i; 
    memset(a,0,sizeof(a)); 
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
        a[i] = T.a[i]; 
} 
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
{
    int i;
    len = n.len;
    memset(a,0,sizeof(a)); 
    for(i = 0 ; i < len ; i++) 
        a[i] = n.a[i]; 
    return *this; 
}
istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符
{
    char ch[MAXSIZE*4];
    int i = -1;
    in>>ch;
    int l=strlen(ch);
    int count=0,sum=0;
    for(i=l-1;i>=0;)
    {
        sum = 0;
        int t=1;
        for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
        {
            sum+=(ch[i]-'0')*t;
        }
        b.a[count]=sum;
        count++;
    }
    b.len =count++;
    return in;
  
}
ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符
{
    int i;  
    cout << b.a[b.len - 1]; 
    for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)
    { 
        cout.width(DLEN); 
        cout.fill('0'); 
        cout << b.a[i]; 
    } 
    return out;
}
BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算
{
    BigNum t(*this);
    int i,big;      //位数   
    big = T.len > len ? T.len : len; 
    for(i = 0 ; i < big ; i++) 
    { 
        t.a[i] +=T.a[i]; 
        if(t.a[i] > MAXN) 
        { 
            t.a[i + 1]++; 
            t.a[i] -=MAXN+1; 
        } 
    } 
    if(t.a[big] != 0)
        t.len = big + 1; 
    else
        t.len = big;   
    return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算 
{  
    int i,j,big;
    bool flag;
    BigNum t1,t2;
    if(*this>T)
    {
        t1=*this;
        t2=T;
        flag=0;
    }
    else
    {
        t1=T;
        t2=*this;
        flag=1;
    }
    big=t1.len;
    for(i = 0 ; i < big ; i++)
    {
        if(t1.a[i] < t2.a[i])
        { 
            j = i + 1; 
            while(t1.a[j] == 0)
                j++; 
            t1.a[j--]--; 
            while(j > i)
                t1.a[j--] += MAXN;
            t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i]; 
        } 
        else
            t1.a[i] -= t2.a[i];
    }
    t1.len = big;
    while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
    {
        t1.len--; 
        big--;
    }
    if(flag)
        t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
    return t1; 
} 
BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算 
{ 
    BigNum ret; 
    int i,j,up; 
    int temp,temp1;   
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
    { 
        up = 0; 
        for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
        { 
            temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up; 
            if(temp > MAXN)
            { 
                temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1); 
                up = temp / (MAXN + 1); 
                ret.a[i + j] = temp1; 
            } 
            else
            { 
                up = 0; 
                ret.a[i + j] = temp; 
            } 
        } 
        if(up != 0) 
            ret.a[i + j] = up; 
    } 
    ret.len = i + j; 
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--; 
    return ret; 
} 
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算
{ 
    BigNum ret; 
    int i,down = 0;   
    for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
    { 
        ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b; 
        down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b; 
    } 
    ret.len = len; 
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--; 
    return ret; 
}
int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    
{
    int i,d=0;
    for (i = len-1; i>=0; i--)
    {
        d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;  
    }
    return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算
{
    BigNum t,ret(1);
    int i;
    if(n<0)
        exit(-1);
    if(n==0)
        return 1;
    if(n==1)
        return *this;
    int m=n;
    while(m>1)
    {
        t=*this;
        for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
        {
            t=t*t;
        }
        m-=i;
        ret=ret*t;
        if(m==1)
            ret=ret*(*this);
    }
    return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较
{ 
    int ln; 
    if(len > T.len)
        return true; 
    else if(len == T.len)
    { 
        ln = len - 1; 
        while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
            ln--; 
        if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
            return true; 
        else
            return false; 
    } 
    else
        return false; 
}
bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较
{
    BigNum b(t);
    return *this>b;
}
void BigNum::print()    //输出大数
{ 
    int i;   
    cout << a[len - 1]; 
    for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
    { 
        cout.width(DLEN); 
        cout.fill('0'); 
        cout << a[i]; 
    } 
    cout << endl;
}
BigNum f[100];
BigNum C[100][100];
BigNum power(BigNum a,int b) {
	BigNum ans=1;
	while(b) {
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b/=2;
	}
	return ans;
}
int main() {
	int n;
	C[0][0]=1; 
	rep(i,1,55) {
		C[i][0]=1;
		rep(j,1,i) {
			C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
		}
	}
	rep(i,1,55) {
		f[i]=power(2,i*(i-1)/2);
		rep(j,1,i-1) {
			f[i]=f[i]-f[j]*C[i-1][j-1]*power(2,(i-j)*(i-j-1)/2);
		}
	}
	while(scanf("%d", &n)&&n) {
		f[n].print();
	}
	return 0;
}

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